2.2 யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் ( Euclid’s Division Lemma)

முக்கியக் கணித மேதைகளில் ஒருவராகத் திகழ்ந்த யூக்ளிட் எழுதிய புத்தகமான “எலிமண்ட்ஸ்” தொகுதிகளைக் கொண்டது. முதல் ஆறு தொகுதிகள் வடிவியல் சார்ந்தவை. இதனாலேயே யூக்ளிடை “வடிவியலின் தந்தை” என அழைக்கிறோம். ஆனால் , அவர் அடுத்த சில தொகுதிகளில் எண்களின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ளப் பல அடிப்படைத் தகவல்களை வழங்கியுள்ளார்.

அதில் ஒன்றுதான் யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம். இது நீங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் செய்த எண்களின் நீள் வகுத்தல் முறையின் சுருக்கமே ஆகும். இங்கு நாம் யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தையும் மற்றும் அதன் பயன்பாடான யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறைய யும் கற்க உள்ளோம். லெ ம்மா (lemma) என்பது ஒரு முக்கியத் தேற்றத்தை நிரூபிக்க உதவும் ஒரு துணைத் தேற்றம் ஆகும்.

இது வழக்கமாக ஒரு சிறு தேற்றம் எனக் கருதப்படும். தேற்றம் : யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் a மற்றும் b என்பன ஏதேனும் இரு மிகை முழுக்கள் எனில் , a bq + , ≤ < b . என்றவாறு q, r எனும் தனித்த முழுக்கள் கிடைக்கும். குறிப்பு ¾ வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதியானது வகுக்கும் எண்ணைவிட எப்போதும் சிறியதாகவே அமையும்.

¾ r = எனில் a = bq. எனவே b ஆனது a ஐ வகுக்கும். ¾ மறுதல யாக b ஆனது a ஐ வகுக்கும் எனில், a = bq க்காட் டு . நம்மிடம் கேக் துண்டுகள் உள்ளன.

ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் கேக்குகள் மட்டுமே வைக்க இயலுமெனில் கேக்குகளை வைக்க எத்தனை பெட்டிகள் தேவை மற்றும் எத்தனை கேக்குகள் மீதமிருக்கும் எனக் காண்க. இஷாங்கோ எலும்புகளில் எண் பதிவுகள் படம் .