2.6 தொEொடர் வரிசைகள் ( Sequences)

. தொEொடர் வரிசைகள் ( Sequences) பின்வரும் படங்களைக் கருதுக. இந்தப் படங்களில் ஏதோ ஓர் அமைப்பு அல்லது வரிசைப்படுத்துதல் உள்ளது. முதல் படத்தில் , முதல் வரிசையில் ஓர் ஆப்பிள் , இரண்டாவது வரிசையில் இரண்டு ஆப்பிள்கள் மூன்றாவது வரிசையில் மூன்று .

. எண்களும் தொEொடர்வரிசைகளும் ஆப்பிள்கள் என்றவாறு அமைந்துள்ளன. ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கை , , , ... இரண்டாவது படத்தில் ஒவ்வொரு படியும் .

அடி உயரம் கொண்டது. அடிமட்டத்திலிருந்து ஒவ்வொரு படியின் மொத்த உயரமானது . அடி , அடி , . அடி , … என உள்ளது.

மூன்றாவது படத்தில் ஒவ்வொரு வடிவத்திலும் உள்ள சதுரங்களின் எண்ணிக்கை , , ,… என உள்ளது. இந்த மூன்று உதாரண ங்கள் மூலம் பெறப்பட்ட எண்கள் “தொடர்வரிசை” என்ற வகையைச் சார்ந்தவை. வரையறை மெய்யெண்களின் தொடர்வரிசை என்பது இயல் எண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட , மெய்யெண் மதிப்புகளைப் பெறும் சார்பாகும். தொடர் வரிசையின் ஒவ்வொரு நிலையில் வரும் எண்ணும் , தொடர்வரிசையின் ஓர் உறுப்பு எனப்படும்.

முதலில் வரும் உறுப்பு முதல் உறுப்பு எனவும் இரண்டாவதாக வரும் உறுப்பு இரண்டாம் உறுப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. n -வது உறுப்பானது a n என குறிக்கப்படும் எனில், a என்பது முதல் உறுப்பு , a என்பது இரண்டாம் உறுப்பு , … ஒரு தொடர்வரிசையை a a a a n ,..., ,... என எழுதலாம். விளக்கம் .

, , , , ... என்ற தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு a n = , n = , , ,..., எனப் பிரதியிடும்போது நாம் பெறுவது , a = , a = , a = , a = ,... . ,...

என்ற தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு a n = . n = , , , ... . எனப் பிரதியிடும்போது நாம் பெறுவது , a , a , a , a ,...

ஒரு தொடர்வரிசை முடிவுறு எண்ணிக்கையில் உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் அது முடிவுறு தொடர்வரிசை எனப்படும். ஒரு தொடர்வரிசையில் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் இருப்பின் அது முடிவுறாத் தொடர்வரிசை எனப்படும். தொEொடர்வரிசையை ஒரு சார்பாக அறிதல் தொடர்வரிசையானது இயல் எண்களின்  மீது வரையறை செய்யப்பட்ட ஒரு சார்பாகும். குறிப்பாகத் தொடர்வரிசை ஆனது f : ® , இங்கு  என்பது மெய்யெண்களின் கணம் என வரையறை செய்யப்பட்ட சார்பாகும்.

தொடர்வரிசையானது a a a ,... வடிவில் அமையுமானால் , a a a ,... என்றத் தொடர்வரிசைக்கு f k a k k = , , , ... என்ற சார்பைத் தொடர்புபடுத்தலாம்.

குறிப்பு எல்லாத் தொடர்வரிசைகளும் சார்புகளே ஆனால் எல்லாச் சார்புகளும் தொடர்வரிசை ஆகாது. a a a a a  படம் .   f  முன்னேற்றச் சோதனை . பின்வரும் தொடர்வரிசைகளில் கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

(i) , , , , ... (ii) , , , , ,… (iii) , , , , , ... . தொடர்வரிசையானது கணத்தில் வரையறை செய்யப்பட்ட சார்பாகும்.

. , , , , , ... என்ற தொடர்வரிசையின் n – வது உறுப்பு . .

சரியா , தவறா எனக் கூறுக. (i) எல்லாத் தொடர்வரிசைகளும் சார்புகளாகும் (ii) எல்லாச் சார்புகளும் தொடர்வரிசைகளாகும் க்காட் டு . பின்வரும் தொடர்வரிசைகளின் அடுத்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க. (i) , , , , .

தீர்வு (i) மேற்கண்ட தொடர்வரிசையில் தொகுதி ஒரே எண்ணாக உள்ளது மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் பகுதியானது அதிகரிக்கிறது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகளானது a a a (ii) இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பைவிட குறைவாக உள்ளது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள் - , - , - . (iii) இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை ஆல் வகுக்க் கிடைக்கிறது.

எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள் a a a 00001 க்காட் டு . பின்வரும் தொடர்வரிசைகளின் பொது உறுப்பு காண்க. (i) , , ,... (ii) ,...

, . , ... ÷ ÷ எண்களும் தொEொடர்வரிசைகளும் தீர்வு (i) , , ,... இங்குள்ள உறுப்புகள் -யின் மடங்குகளாக உள்ளன.

எனவே n = , n Î  (ii) ,... a ; a ; a இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பிலும் தொகுதியானது வரிசை இயல் எண்களாகவும் , பகுதியானது தொகுதியை விட ஒன்று கூடுதலாகவும் உள்ளது. எனவே , பொது உறுப்பு a n = ∈ ,  (iii) ,... இங்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளில் + மற்றும் – எனக் குறிகள் மாறி மாறி வந்துள்ளன.

மேலும் உறுப்புகள் -யின் அடுக்குகளாகவும் அமைந்துள்ளன. எனவே பொது உறுப்பு a = − ∈  க்காட் டு . ஒரு தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. n n n =       ∈ ∈ ; ;   is odd is even -வது உறுப்பு மற்றும் -வது உறுப்புக் காண்க.

தீர்வு n = என்பது ஒற்றை எண் என்பதால் , a -யின் மதிப்புக் காண n = என n n n = -யில் பிரதியிட , -வது உறுப்பு a ( n = என்பது இரட்டை எண் என்பதால் , a -யின் மதிப்புக் காண n = என n = -யில் பிரதியிட , -வது உறுப்பு a = . க்காட் டு . பின்வரும் தொடர்வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்புகளைக் காண்க. a = , a = , a ≥ ∈ ;  தீர்வு a = , a = எனத் தொடர்வரிசையின் முதல் இரண்டு உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

மூன்றாவது உறுப்பானது முதல் இரண்டு உறுப்புகளைச் சார்ந்ததே உள்ளது. இதைப் போலவே நான்காம் உறுப்பு a ஆனது a மற்றும் a ஆகியவற்றைச் சார்ந்ததே உள்ளது. இதே வழிமுறையில் ஐந்தாம் உறுப்பு a கணக்கிடப்படுகிறது. எனவே , தொடர்வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்புகள் , , , மற்றும் ஆகும்.

ஓர் ஒற்றை எண் ஓர் இரட்டை எண் பயிற்சி . . பின்வரும் தொடர்வரிசைகளின் அடுத்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க. (i) , , , … (ii) , , - , … (iii) , , , … .

பின்வரும் n -வது உறுப்புகளைக் கொண்ட தொடர்வரிசைகளின் முதல் நான்கு உறுப்புகளைக் காண்க. (i) a n = (ii) a n n = − (iii) a n = . கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர்வரிசைகளின் n -வது உறுப்பைக் காண்க. (i) , , ,...

(ii) ,... (iii) , , ,... . கீழ்க்ககாணும் தொடர்வரிசைகள் ஒவ்வொன்றிலும் n -வது உறுப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அதில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள உறுப்புகளைக் காண்க. (i) a n = ; a மற்றும் a (ii) a n = –( n – ); a மற்றும் a . a n =      ; ; என்பது n - வது உறுப்பு எனில் , a மற்றும் a காண்க. .

a = , a = மற்றும் a ≥ ∈ ,  எனில் , தொடர்வரிசையின் முதல் ஆறு உறுப்புகளைக் காண்க.