குறிப்பு

குறிப்பு ¾ தரவு : ஒரு கோட்பாட்டைத் தகுந்த எண்ணளவில் குறிப்பிடுவதைத் தரவு என்கிறோம். ¾ தரவுப்புள்ளி : தரவின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் தரவுப்புள்ளி என்கிறோம். ¾ மாறி : ஓர் கணக்கெடுப்பில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அளவுகள் மாறிகள் எனப்படுகின்றன. மாறிகள் பொHொதுவாக x i , i = , , ,…, n .

எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. ¾ நிகழ்வெண்கள் : ஒரு தரவில், ஒரு மாறி எவ்வளவு முறை வருகிறதோ, அந்த எண்ணிக்கையை நாம் மாறியின் நிகழ்வெண் என்கிறோம். பொHொதுவாக நிகழ்வெண் என்பது f i , i = , , ,…, n எனக் குறிக்கப்படுகின்றது. சிந்தனைக் களம் தரவுப் புள்ளிகளின் சராசரியானது x , மேலும் முதல் உறுப்புடன் ஒன்றையும், இரண்டாம் உறுப்புடன் இரண்டையும் கூட்டி என இவ்வாறு தொடர்ந்து கூட்டிக் கொண்டே போHோனால் புதிய சராசரி என்னவாக இருக்கும்?

புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் தொகுக்கப்படாத தரவு தொகுக்கப்பட்ட தரவு ஊகச் சராசரி முறை படி விலக்க முறை நேரடி முறை நேரடி முறை கூட்டுச் சராசரி காணும் முறைகள் X f d f குறிப்பு முதல் இடைவெ ளியின் நிகழ்வெண் ஆனது பூச்சியம் எனில், அடுத்த இடைவெ ளியின் நிகழ்வெண்ணைப் பயன்படுத்தி வீச்சு கணக்கிட வே ண்டும். புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் க்காட்டு . ஒரு தரவின் வீச்சு . மற்றும் மிகப் பெரிய மதிப்பு .

எனில் மிகச் சிறிய மதிப்பைக் காண்க . தீர்வு வீச்சு, R = மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = வீச்சு, R = L S . = S S = எனவே , மிகச் சிறிய மதிப்பு . .

. . சராசரியிலிருந்து விலகல் (Deviations from the mean) கொடுக்கப்பட்ட x x x n , ¼ என்ற n தரவுப்புள்ளிகளுக்கு x - , x - , …, x n - என்பன சராசரி x - லிருந்து உள்ள விலகல்கள் ஆகும். .

. சராசரியிலிருந்து விலக்க வர்க்கம் (Squares of deviations from the mean) x x x n ¼ ஆகியவைகளின் சராசரி x - லிருந்து உள்ள விலகல்களின் வர்க்கங்கள் ) ,( ) ,...,( அல்லது குறிப்பு எல்லா x i , i = , , ,…, n மதிப்புகளுக்கும் x i − குறிப்பு வீச்சின் மூலமாக மையப் போHோக்கு அளவைகளிலிருந்து தரவுகளின் பரவலைத் துல்லியமாக அறிய முடியாது. எனவே , மையப்போக்கு அளவைகளிலிருந்து விலகல் சார்ந்த அளவு நமக்கு தேவ ப்படுகிறது. சிந்தனைக் களம் விலக்க வர்க்கச் சராசரி ஒரு குறை எண்ணாக இருக்க முடியுமா?

கார்ல் பியர்சன், முதன்முதலில் “திட்டவிலக்கம்” என்ற வார்த்ததையைப் பயன்படுத்தியவராவார். “சராசரி பிழை” என்ற வார்த்ததையை முதன்முதலில் பயன்படுத்தியவர் ஜெ ர்மன் கணிதவியலாளர் காஸ் ஆவார். நேரடி முறை கூட்டுச் சராசரி முறை ஊகச் சராசரி முறை படி விலக்க முறை கூட்டுச் சராசரி முறை ஊகச் சராசரி முறை படி விலக்க முறை தொகுக்கப்படாத தரவுகள் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகள் (தனி மற்றும் தொடர்ச்சியான) திட்ட விலக்க் கணக்கீடு தொகுக்கப்படாத தரவுகளின் திட்ட விலக்கம் காணுதல் (i) நேரடி முறை திட்ட விலக்கம் s = Σ ( i − Σ ( x x Σ Σ  Σ x Σ x Σ x திட்ட விலக்கம் , s = Σ Σ ¾ திட்டவிலக்கம் காணும்போது, தரவுப் புள்ளிகள் ஏறுவரிசையில் இருக்க வே ண்டிய அவசியம் இல்லை. ¾ தரவுப் புள்ளிகள் நேரடியாகக் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் திட்ட விலக்கம் காண s = Σ Σ என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

¾ தரவுப் புள்ளிகள் நேரடியாகக் கொடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் சராசரியிலிருந்து பெறப்பட்ட விலக்கங்களின் வர்க்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், நாம் திட்ட விலக்கம் காண s = Σ x என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் க்காட்டு . ஒரு வாரத்தின் ஒவ்வொரு நாளிலும் விற்கப்பட்ட தொலை க்காட்சிப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு , , , , , , . இந்த் தரவின் திட்ட விலக்கம் காண்க . குறிப்பு கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்குத் திட்டவிலக்கம் மற்றும் சராசரி ஒரே அலகில் அமையும் முறைகள் குறிப்பு புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் தீர்வு x i x i Σ x i = Σ x i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ  = எனவே , s  .

(ii) கூட்டு சராசரி முறை திட்ட விலக்கத்தை காண கீழ்க்ககாணும் மற்றொ ரு சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம் . திட்ட விலக்கம் (கூட்டு சராசரி முறை) s = Σ ( இங்கு, d எனில், s = Σ d க்காட்டு . ஒரு குறிப்பிட்ட பருவத்தில் நாள்களில் பெய்யும் மழையின் அளவானது . செ.மீ, .

செ.மீ எனில், இந்த தரவிற்கு திட்டவிலக்கம் காண்க . தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட தரவின் ஏறுவரிசையில் எழுதக்கிடைப்பது . , . , .

தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை n = சராசரி = x i d i . . . .

. . Σ d i திட்ட விலக்கம் s = Σ d ஆகவே , s  . (iii) ஊகச் சராசரி முறை சராசரியின் மதிப்பு முழுக்களாக இல்லாதபோHோது, ஊகச் சராசரி முறையைப் பயன்படுத்தி திட்ட விலக்கம் காண்பது சிறந்து (ஏனெ னில் தசமக் கணக்கீடுகள் சற்று கடினமாக இருக்கும் என்பதால்).

தரவுப் புள்ளிகளை x x n , ..., என எடுத்துக் கொண்டால் x - ஐ அதன் சராசரியாக கொள்ளலாம். x i - யிலிருந்து ஊகச் சராசரி ( A ) யின் விலகலே d i ஆகும். ( A ஆனது கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளின் இடைப்பட்ட ஒரு தரவுப்புள்ளி) . d i = ⇒ x i = ...

( ) சிந்தனைக் களம் திட்டவிலக்கம், விலக்க வர்க்கச் சராசரியை விடப் பெரிதாக இருக்க முடியுமா? முன்னேற்றச் சோதனை விலக்க வர்க்கச் சராசரி . எனில், திட்ட விலக்கமானது S d i = Σ ( Σ x to  முறைகள் ) S d i = Σ x S d i = Σ x d = A ( அல்லது ) x = ... ( ) திட்ட விலக்கமானது, s = Σ ( Σ ( ( ( ) , ( ) பயன்படுத்த ) Σ ( Σ ( Σ Σ  Σ d ( காரணம் d ஆனது ஒரு மாறிலி ) Σ d திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ க்காட்டு .

ஒரு வகுப்புத் தேர்வில், மாணவர்களின் மதிப்பெண்கள் , , , , , , , , , ஆகும். மாணவர்கள் பெற்ற மதிப்பெண்களின் திட்ட விலக்கத்தைக் காண்க . தீர்வு மதிப்பெண்களின் சராசரி = . .

இந்த மதிப்பானது தரவுகளின் நடுமதிப்பாக அமையும். அதனால் நாம் ஊகச் சராசரி A = , என எடுத்துக் கொள்கிறோம், மேலும், n = . x i − d i – – – – Σ d i = Σ d i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ  s  . (iv) படி விலக்க முறை கொடுக்கப்பட்ட தரவுப் புள்ளிகளை x x x x n ,...

எனக் கருதுவோம். இதன் ஊகச் சராசரியை A எனக் கொள்ளலாம் . முறைகள் சிந்தனைக் களம் n - ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் (i) Σ ( i − (ii) ( Σ x i − ஆகியவற்றின் மதிப்பைக் காண முடியுமா? புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் i - - ன் பொHொது வகுத்தி c என்க .

d i = எனில், x i = d c … ( ) S x i = Σ d c Σ S x i = Σ x = cd … ( ) i - cd cd c d ) ( ( ) , ( ) ஐப் பயன்படுத்த ) s = Σ ( Σ ( ( )) c d Σ ( s = Σ Σ குறிப்பு மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள முறைகளில் ஏதேனும் ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தித் திட்ட விலக்கத்தைக் காணலாம். செயல்பாடு காலாண்டுத் தேர்வு மற்றும் முதல் இடைத் தேர்வு ஆகியவற்றில் ஐந்து பாடங்களில் நீங்கள் பெற்ற மதிப்பெண்களைக் கொண்டு தனித்தனியாகத் திட்டவிலக்கம் காண்க. விடைகளிலிருந்து நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொண்டீர்கள் ? க்காட்டு .

ஒரு பள்ளி சுற்றுலாவில் குழந்தைகள் தின்பண்டங்கள் வாங்குவதற்காக செலவு செய்த தொகையானது முறையே , , , , , , , ஆகும். படி விலக்க முறையை பயன்படுத்தி அவர்கள் செய்த செலவிற்கு திட்ட விலக்கம் காண்க . தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட எல்லா தரவுப் புள்ளிகளும் ஆல் வகுபடும் எண்கள். அதனால் நாம் ஊகச் சராசரி முறையைப் பின்பற்றலாம் A = , n = .

x i − c = d i – – – – – – Σ d i = Σ d i திட்ட விலக்கம் s = × Σ Σ × = . × s  . க்காட்டு . கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரவிற்கு திட்டவிலக்கம் காண்க.

, , , , . இதன் எல்லா மதிப்புகளுடனும் - யை கூட்டும்போது கிடைக்கும் புதிய தரவிற்கு திட்டவிலக்கம் காண்க . தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட தரவுப் புள்ளிகளின் ஏறு வரிசை , , , , மற்றும் n = x i x i Σ x i = Σ x i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ  s =  . அனைத்து தரவுப் புள்ளிகளையும் ஆல் கூட்டும் போHோது, நமக்கு கிடைக்கும் புதிய தரவுப் புள்ளிகள் , , , , ஆகும் .

x i x i Σ x i = Σ x i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ  s =  . கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியுடன் ஏதேனும் மாறிலி k- யைக் கூட்டினால், திட்ட விலக்கம் மாறாது . க்காட்டு . கொடுக்கப்பட்ட தரவின் திட்ட விலக்கம் காண்க , , , , .

ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியையும் - ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் புதிய தரவின் மதிப்பிற்கு திட்ட விலக்கம் காண்க . தீர்வு கொடுக்கப்பட்டவை , n = x i x i Σ x i = Σ x i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ s =  .  . அனைத்து தரவுப் புள்ளிகளையும் ஆல் பெருக்க் கிடைக்கும் புதிய தரவுப் புள்ளிகள் , , , , ஆகும் .

புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் x i x i Σ x i = Σ x i திட்ட விலக்கம் s = Σ Σ  . s = . = .  .

கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியையும் மாறிலி k- ஆல் பெருக்கும்போது கிடைக்கும் புதிய தரவின் திட்ட விலக்கம் k மடங்காக அதிகரிக்கிறது . க்காட்டு . முதல் n இயல் எண்களின் சராசரி மற்றும் விலக்க வர்க்கச் சராசரிகளைக் காண்க . தீர்வு சராசரி x = தரவுப் புள்ளிகளின் கூடுதல் மதிப்பு தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை Σ x ...

n n சராசரி x = விலக்க வர்க்கச் சராசரி s = Σ Σ Σ Σ       ... ...       n n n n விலக்க வர்க்கச் சராசரி s = n தொகுக்கப்பட்ட தரவின் திட்ட விலக்கம் கணக்கிடல் (i) சராசரி முறை திட்ட விலக்கம் s = Σ f x N ) s = Σ fd N , இங்கு N f i குறிப்பு ஒரே ஒரு விளைவு நிகழ்ச்சி: E என்ற நிகழ்ச்சியில் ஒரேயொரு விளைவு மட்டும் இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு விளைவு நிகழ்ச்சி என்று பெயர் -ல் பெர்ன லி முதன்முதலில் நிகழ்தகவைச் சூதாட்டத்தைத் தவிரப் பல இடங்களில் மிகப்பெரிய அளவில் பயன்படுத்திக்காட்டினார் ¾ E - ன் நிரப்பு நிகழ்ச்சி E ஆகும் . P E m ( ) = என்க.

( m - ஆனது E - யின் சாதகமான வாய்ப்புகள் மற்றும் n - ஆனது மொத்த வாய்ப்புகள்) . P E ( ) = E நிகழ சாதகமற்ற வாய்ப்புகள் மொத்த வாய்ப்புகள் P E ( ) = m m P E ( ) = P (E) ¾ P ( E ) + P (E) = முன்னேற்றச் சோதனை கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் எவை நிகழ்தகவாக இருக்க முடியாது? (a) – . (b) .

(c) . (d) (e) % (f) . (g) (h) க்காட்டு . ஒரு பையில் நீல நிறப்பந்துகளும், பச்சை நிறப்பந்துகளும் உள்ளன.

பையிலிருந்து சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு பந்து எடுக்கப்படுகிறது. எடுக்கப்படும் பந்தானது (i) நீலமாக (ii) நீலமாக இல்லாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க. தீர்வு மொத்த வாய்ப்புகளின் எண்ணிக்கை n (S) = (i) A என்பது நீல நிறப்பந்தை பெறுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. A நிகழ்வதற்கான வாய்ப்புகளின் எண்ணிக்கை , n (A) = நீலநிறப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு , P A n A n S = (ii) A ஆனது நீல நிறப்பந்து கிடைக்காமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி.

எனவே P A P A = − = − க்காட்டு . இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றன. கிடைக்கப்பெறும் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் (i) - க்குச் சமமாக (ii) - ஐ விடப் பெரிதாக (iii) - ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க. சாதகமற்றது n–m சாதகமானது m புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் தீர்வு இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படும்பொ ழுது, கூறுவெ ளியானது S = { ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) } .

எனவே குறிப்பு A ∩ = f S ∪ A, B ஆகியன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனில் P A P A P B ∪