3.7 மாறுபாடுகளின் வரைபடங்கள் (Graph of Variations)

மாறிகள்: ஒவ்வொரு நாளும் தனது பள்ளிக்குச் சென்றடைய ஹரிணி சீரான வேகத்தில் தனது வீட்டிலிருந்து மிதிவண்டியில் செல்கிறாள். இதனை d = rt என்ற கணிதச் சமன்பாடாகக் கூறலாம். இங்கு, d என்பது, t நேரத்தில், r எனும் சீரான வேகத்தில் பயணித்த தூரமாகும். ஒருவேளை அவள் கி.மீ/மணி வேகத்தில் நிமிடங்கள் மிதிவண்டி ஓட்டினால், அடையும் தூரத்தை கணக்கிடுவோம்.

இங்கு, r = மற்றும் t = (எப்படி), மேலும் rt = × = கி.மீ. இங்கு, d ஆனது சார்பு மாறி ( dependent variable ) எனவும், r மற்றும் t ஆனது தற்சார்பு மாறிகள் ( independent variable ) எனவும் நாம் கூறுகிறோம். ஏனெனில், பயணித்த தூரம் ‘d’ ஆனது வேகம் r மற்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட நேரம் t – ஐ சார்ந்து இருக்கும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சூழ்நிலையில் கையாளப்படும் அளவானது ஒரு தற்சார்பு மாறியையும், தற்சார்பு மாறியானது கையாளப்பட்டதைப் பொHொருத்து ­மதிப்பைப் பெறும் அளவானது ஒரு சார்பு மாறியையும் குறிக்கும்.

ஓர் உணவகத்தில் வேலை செய்யும் சர்வர் சுரேஷ் ஒரு மணி நேரத்திற்கு ` வழங்கப்படுகிறது எனில், அவரின் மாத வருமானத்தைக் கணக்கில் கொள்வோம். இங்கு, இரண்டு மாறிகள் உள்ளன. ஒன்று அவரது மாத வருமானம், மற்றொன்று அவர் எத்தனை மணிநேரம் வேலை செய்தார் என்பதாகும். இவை இரண்டில் எது தற்சார்பு மாறியாகும்?

மாறிலிகள்: ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த வட்டதின் பரப்பளவை கணக்கிடும் முறையை நீ அறிவாய், ஆரம் r, பரப்பளவு A எனில் தேவை யான சூத்திரம், A = p r ஆகும் . இங்கு, பரப்பளவு A என்பது, ஆரம் r- ன் நீளத்தை சார்ந்து இருக்கிறது. ஆகவே, A ஆனது சார்பு மாறியாகும் ( dependent variable ). r ஆனது தற்சார்பு மாறியாகும் ( independent variable ).

ஆனால், p ஐப் பற்றி நாம் என்ன கூற முடியும்? அது அனை த்து சூழல்களிலும் மாறாமல் உள்ள ஓர் எண்ணாகும். அது ஒரு மாறிலி ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட கணிதச் சூழல் முழுவதும் ஒரு நிலையான மதிப்பை எடுத்துக் கொள்ளும் அளவானது ஒரு மாறிலி எனப்படும்.

இரண்டு வகையான மாறுபாடுகள்: விகித தொடர்பில் இருக்கும் இரு பொHொருள்களில், ஒன்றின் மதிப்பு மாறும்போது, மற்றொன்றின் மதிப்பும் மாறுபடும். இவ்வாறாக மாறுபடும் விகிதங்களின் இரு வகைகளை நாம் இங்கு காண்போம். (i) நேர் மாறுபாடு ( Direct variation ) (ii) எதிர் மாறுபாடு ( Indirect variation ) (i) நேர் மாறுபாடு (Direct variation) : நீங்கள் அங்காடிக்கு சென்று அதிக ஆப்பிள்களை வாங்க நினை த்தால், அதிகமான பணத்தைச் செலவு செய்ய ­ வேண்டியிருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு கிலோ ஆப்பிள் ` எனில், பின்வருமாறு செலவு செய்ய வேண்டும்.

எடை (கி.கி) விலை ( ` ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) அளவு திட்டம் x அச்சு செ.மீ = கிகி y அச்சு செ.மீ = ` படம் . எடை (கி.கி) விலை ( ` ) y = x எனவே, ... எனவே, இத்தகைய மாறுபடும் விகிதத்தையே நேர் மாறுபாடு என்கிறோம். இங்கு விலையைக் காண, எடையானது என்ற ­மாறிலியால் பெருக்கப்படுகிறது.

இங்கு, மாறக்கூடிய எடையை x எனவும், மாறக்கூடிய விலையை y எனவும் கொண்டால், இதனை y = x என்ற இயற்கணித சமன்பாடாக விவரிக்கலாம். இங்கு, பெருக்கல் காரணி ஆகும். k , k ஆனது ஒரு மிகை எண் (மாறிலி) எனில், x மற்றும் y ஆனது நேர் மாறுபாட்டில் இருக்கும். இங்கு, k ஆனது விகிதசம மாறிலி எனப்படும்.

அன்றாட வாழ்வில் கணிதம்: இந்தப் படமானது விசையினை இரட்டிப்பாக்கினால் இடப்பெயர்ச்சியானது இரட்டிப்பாகும் என்பதை விளக்குகிறது. இது ஹுக்ஸ் விதியின் விளைவு ஆகும். இதனை F = kx என குறிப்பிடுவோம். இங்கு, திருகு சுருளின் நிலையில் x என்ற இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த F என்ற விசையானது தேவை ப்படுகிறது.

இடப்பெயர்ச்சியினை இரட்டிப்பாக்க, நாம் விசையினை இரட்டிப்பாக்குகிறோம். இங்கு விகிதசம மாறிலியான k ஆனது திருகு சுருளின் விறைப்புத்தன்மையைப் பொHொருத்து இருக்கும். ஆகவே, இது நேர்மாறுபாட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டாகும். நேர்மாறுபாட்டைக் காட்சிப்படுத்துதல்: ஒரு சமன்பாடானது நேர்மாறுபாட்டில் உள்ளதா என்பதனை அறிய, அது y = kx என உள்ளதா என ஆராய வேண்டும்.

இங்கு, k ஆனது விகிதசம மாறிலி ஆகும். ஆகவே, மாறிகளில் y = x என்ற சமன்பாடானது எப்போதும் நேர்மாறுபாட்டையே குறிப்பிடும். இந்த வரைபடத்தை கவனிக்கவும்: பயணித்த தூரமும், எடுத்துக் கொண்ட நேரமும் விகிதசமத்தில் உள்ளன. இதனை எவ்வாறு கண்டறிவது?

i) வரைபடமா னது ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும். ii) நேர்க்கோடானது ஆதிப்புள்ளி வழியாக செல்கிறது என்பதை நினை வில் கொள்க. இந்த இரு பண்புகளையும் நிறைவு செய்யும் வண்ணம் அமைந்த இரு அளவுகளின் மீதான வரைபடம், நேர் விகிதத்தில் தான் அமையும். இந்த வரைபடத்தின் மூலம் நாம் அறிந்து கொள்வது என்ன?

நேரம் (நிமிடங்களில்) தூரம் (கி.மீ) ஒரு மாறி இருமடங்காகும்போது, மற்றொன்றும் இருமடங்காகிறது. இதிலிருந்து d = rt என்னும் தொடர்பு அமைகிறது. மேலும், மாறுபாட்டின் மாறிலியை எளிதில் கண்டறியலாம். சிந்தனைக் களம் x மற்றும் y ஆகிய மாறிகள், y – x = என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் ­தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருந்தால், நாம் என்ன கூற இயலும்?

அதுவும், நேர்மாறுபாட்டையே குறிப்பிடும். எப்படி என்பதை சிந்திக்கவும்? அவ்வகையில், விகிதசம மாறிலி என்ன? ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) அளவு திட்டம் x அச்சு செ.மீ = அலகுகள் y அச்சு செ.மீ = அலகுகள் படம் .

y = x நேரம் (நிமிடங்களில்) தூரம் (கி.மீ) இயற்கணிதம் க்காட்டு . வர்ஷிகா வெவ்வேறு அளவுகளில் வட்டங்களை வரைந்தாள். அட்டவணையில் உள்ளவாறு, ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டத்திற்கும் அதன் சுற்றளவிற்கும் உள்ள தோராயத் தொடர்புக்கு ஒரு வரைபடம் வரையவும். அதனை ப் பயன்படுத்தி, விட்டமானது செ.மீ ஆக இருக்கும்போது வட்டத்தின் சுற்றளவைக் காண்க.

விட்டம் ( x ) செ.மீ சுற்றளவு ( y ) செ.மீ . . . .

. தீர்வு அட்டவணையிலிருந்து, x அதிகரிக்க y யும் அதிகரிக்கிறது என நாம் காண்கிறோம். ஆகவே, இது நேர்மாறுபாடு ஆகும். ஆகவே, y = kx என்க.

இங்கு, k ஆனது விகிதசம மாறிலி ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டு நாம் பெறுவது, . . .

), ஆகிய புள்ளிகளைக் வரைபடத்தில் குறித்தால், y = ( . ) x ஆனது ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபடத்தை அமைக்கிறது எனக் காண்கிறோம். எனவே, வரைபடத்திலிருந்து, விட்டம் செ.மீ ஆக இருக்கும் வட்டத்தின் சுற்றளவு . செ.மீ ஆகும்.

க்காட்டு . ஒரு பேருந்து கி.மீ/மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொட ர்புக்கான நேரம் – தூரம் வரைபடம் வரைந்து, பின்வருவனவற்றைக் காண்க. (i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க (ii) நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு?

(iii) கி.மீ. தூரத்தை பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? தீர்வு x ஆனது நேரத்தையும் (நிமிடங்களில்), y ஆனது பயணித்த தூரத்தையும் (கி.மீ-ல்) குறிப்பதாகக் கொள்வோம். பயண நேரம் ( x ) நிமிடங்களில் பயண தூரம் ( y ) கி.மீ-ல் (i) நேரம் அதிகரிக்கும்போது பயணித்த தூரமும் அதிகரிப்பதை கவனிக்கவும்.

ஆகவே, இது kx என்ற வடிவம் கொண்ட நேர்மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. விகிதசம மாறிலி, k படம் . அளவு திட்டம் x அச்சு செ.மீ = அலகு y அச்சு செ.மீ = அலகு y = ( . ) x விட்டம் (செ.மீ) சுற்றளவு (செ.மீ) கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களின்படி, ஆகவே,