3.6 இருபடிச் சமன்பாடுகள் ( Quadratic Equations)

. இருபடிச் சமன்பாடுகள் ( Quadratic Equations) அறிமுகம் லத்தீனில் ‘ சவசோர்டா ’ எனும் பெயரால் அறியப்பட்ட கணிதவியலாளர் அப்ரஹாம் பார் ஹியா ஹா-நாசி என்பவர் பொHொ.யு ஆம் ஆண்டு ‘ லிபர் எம்படோரம் ’ எனும் புத்தகத்தை ஐரோப்பாவில் முதன்முதலில் வெளியிட்டார். இந்நூலில் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் முழுமையான தீர்வுகள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. (−) (−) (−) (−) (−) (−) இயற்கணிதம் மூவாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முற்பட்ட பண்டைய காலம் முதல் இன்றைய காலம் வரை இருபடிச் சமன்பாடுகளை த் தீர்க்கும் பல்வேறு வழிமுறைகளை மக்கள் அறிந்திருந்தனர்.

குறிப்பாக , சமன்பாட்டில் உள்ள கெழுக்கள் , நான்கு அடிப்படைச் செயலிகள் மற்றும் வர்க்க மூலங்களைக் கொண்டு தீர்வைக் கண்டனர். இவ்வாறு பெறும் தீர்வு முறைகள் “ படிமுறைத் தீர்வு ” என அழைக்கப்படுகிறது. இன்று வரையில் , பல்வேறு சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் காண ஆழ்ந்த ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இருபடிக் கோவை a x a x a x ...

என்பது x எனும் மாறியில் n படியில் அமைந்த கோவை யாகும். மேலும் , a ¹ மற்றும் a a a n ,... ஆகியவை மெய் எண்கள். a a n , ...

ஆகியவற்றை கெழுக்கள் என அழைக்கிறோம். குறிப்பாகக் கோவை யின் படி - ஆக இருப்பின் அதை ‘ இருபடிக் கோவை ’ என அழைக்கிறோம். p ( x ) என்பது இருபடிக்கோவையெனில் , அதை p x ax bx என எழுதலாம். இங்கு , p x ax bx a ¹ மற்றும் a , b , c ஆகியவை மெய் எண்களாகும்.

. . இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள் (Zeroes of a Quadratic Polynomial) p ( x ) என்பது ஒரு பல்லுறுப்பு கோவை என்க. p ( a )= எனில் x=a என்பது p ( x ) -யின் ஒரு பூச்சியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, p ( x )= x – x– எனில் p (– )= + – = மற்றும் p ( )= – – = . எனவே , – மற்றும் என்பவை p ( x )= x – x– என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை யின் பூச்சியங்கள் ஆகும் . . .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் (Roots of a Quadratic Equations) ax bx ≠ , ( ) என்பது ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு என்க. ax bx + என்ற கோவை யின் மதிப்பைப் பூச்சியமாக்குகின்ற x -யின் மதிப்புகளை ax bx என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்கிறோம். ax bx + = என்க. a x a x +       = a x + = ( ஏனெனில், a ¹ )