Section

( )( = − ± = − ± எனவே , x = , - எடுத்துக்காட்டு தீர்க்க pqx q x தீர்வு pqx q x -ஐ ax bx உடன் ஒப்பிட, a = pq , b = − q , c = q ac a , b மற்றும் c -யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட , pq pq pq pq - - . . PM ±       ) ( pq pq ± ) ( pq pq pq ± ) ( pq ± pq ± ){( )} pq எனவே , x pq , p pq ⇒ x , p செயல்பாடு மீன்களுக்கு ( சமன்பாடு ) தகுந்த உணவுகளை ( மூலங்கள் ) அளியுங்களேன்! எந்த மீனுக்கு உணவு அளிக்க முடியாது?

பயிற்சி . . கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கப் பூர்த்தி முறையில் தீர்க்க. (i) (ii) .

சூத்திர முறையை ப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளை த் தீர்க்க. (i) (ii) f f (iii) (iv) ay . சாய்வு தளத்தில் t- வினாடிகளில் ஒரு பந்து கடக்கும் தூரம் d t t அடிகளாகும். .

அடி தொலைவைக் கடக்கப் பந்து எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் எவ்வளவு?. x + x + = x + x + = x + = x – x – = x – = x – x – = , – – , – ,– . – , – , இயற்கணிதம் . .

இருபடிச் சமன்பாடுகள் சார்ந்த கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணுதல் (Solving Problems Involving Quadratic Equations) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் படிகள் படி சொற்றொடர்களால் அமைந்த கணக்கை இருபடிச் சமன்பாடாக மாற்றுக. படி மேலே குறிப்பிட்ட மூன்று முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க. படி கணித முறையில் பெற்ற விடையை வினாவிற்கு ஏற்ப சொற்றொடரில் மாற்றி எழுதுக. க்காட்டு .

குமரனின் தற்ப தைய வயதின் இருமடங்கோடு ஒன்றைக் கூட்டினால் கிடைப்பது , குமரனின் இரண்டாண்டுகளுக்கு முந்தைய வயதையும் அவரின் ஆண்டுகளுக்குப் பிந்தைய வயதையும் பெருக்க் கிடைப்பதற்குச் சமம் எனில் , அவரின் தற்ப தைய வயதைக் காண்க. தீர்வு குமரனின் தற்ப தைய வயது x ஆண்டுகள் என்க. ஆண்டுகளுக்கு முன் வயது = ஆண்டுகள். ஆண்டுகளுக்குப் பின் வயது = ஆண்டுகள்.

கொடுத்த தகவல்படி , ( = + x = + x ⇒ ( ⇒ x = ± வயது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே , குமரனின் தற்ப தைய வயது ஆண்டுகள். க்காட்டு . அடி நீளமுள்ள ஓர் ஏணி ஒரு சுவரின் மீது சாய்ந்துள்ளது.

தரை , ஏணி மற்றும் செங்குத்துச் சுவர் மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. சுவரின் அடியிலிருந்து ஏணியின் அடி முனை வரை உள்ள தூரம் ஏணியின் மேல் முனை சுவரைத் தொடும் உயரத்தைவிட அடி குறைவு எனில் , சுவரின் உயரம் காண்க. தீர்வு சுவரின் உயரம் AB அடி என்க கொடுக்கப்பட்ட தகவலின்படி BC = ( x – ) அடி செங்கோண முக்கோணம் ABC , AC = அடி BC = ( x – ) அடி பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின்படி , AC AB BC ; ⇒ ( ஆகவே , x = அல்லது − உயரம் குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது. எனவே , சுவரின் உயரம் அடி ஆகும்.

க்காட்டு . ஓர் இடத்தில் x அன்னங்கள் கூட்டமாக இருந்தன. மேகங்கள் கூடியதால் , x அன்னங்கள் ஏரிக்குச் சென்றன ; எட்டில் ஒரு பங்கு தோட்டத்திற்குப் பறந்தன. மீதமுள்ள மூன்று ஜோடிகள் நீரில் விளையாடின எனில் , மொத்த அன்னங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க?

தீர்வு மந்தையில் மொத்தம் x அன்னங்கள் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களின்படி , ⇒ x – சுவர் அடி படம் . x = −± ac ± ( )( ) = ± எனவே , x = , - . அன்னங்களின் எண்ணிக்கை x = - ஆக இருக்க முடியாது.

ஆகையால் , x = . மொத்த அன்னங்களின் எண்ணிக்கை x = ஆகும் . க்காட்டு . சென்னையிலிருந்து விருதாச்சலத்திற்கு கி.மீ தூரத்தைக் கடக்க ஒரு பயணிகள் தொடர்வண்டிக்கு ஒரு விரைவு தொடர்வண்டியைவிட மணி நேரம் கூடுதலாகத் தேவை ப்படுகிறது.

விரைவு தொடர்வண்டியின் வேகம் , பயணிகள் தொடர்வண்டியின் வேகத்தைவிட கி.மீ/மணி அதிகம் எனில் , இரு தொடர்வண்டிகளின் சராசரி வேகங்களைக் கணக்கிடுக. தீர்வு பயணிகள் தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் x கி.மீ/மணி என்க. தற்ப து , விரைவு தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் ( x + கி.மீ/மணி ஆகும். கி.மீ கடக்கப் பயணிகள் தொடர்வண்டி எடுக்கும் நேரம் = மணி கி.மீ கடக்க விரைவு தொடர்வண்டி எடுக்கும் நேரம் = மணி கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களின்படி ,       = ⇒ x x      = ⇒ = ⇒ ( ⇒ x = – or .

வேகம் ஒரு குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே , பயணிகள் தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் கி.மீ/மணி எனவே , விரைவு தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் கி.மீ/மணி பயிற்சி . . ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலை கீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் எனில் , அந்த எண்ணைக் காண்க.

. மீ × மீ அளவுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வக வடிவப் பூங்காவைச் சுற்றி ‘w’ மீட்டர் அகலமுள்ள நடைபாதை அமைக்கப்படும்போது, அதன் மொத்தப் பரப்பு சதுர மீட்டராக அதிகரிக்கிறது. நடைபாதை யின் அகலத்தைக் கணக்கிடுக. .

ஒரு பேருந்து கி.மீ தொலைவை ச் சீரான வேகத்தில் கடக்கிறது. அதன் வேகம் கி.மீ/ மணி அதிகரிக்கப்பட்டால் , பயண நேரம் நிமிடங்கள் குறைகிறது எனில் , பேருந்தின் வேகத்தைக் கணக்கிடுக. . ஒரு பெண்ணின் வயது அவரது சகோதரியின் வயதைப் போHோல இருமடங்கு ஆகும்.

ஐந்து ஆண்டுகளுக்குப் பின் இரு வயதுகளின் பெருக்கற்பலன் எனில் , சகோதரிகளின் தற்ப தைய வயதைக் காண்க. . மீ விட்டமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் கம்பம் ஒன்று பொHொருத்தப்பட வேண்டும். ஏதேனும் ஒரு விட்டத்தின் இரு முனை களில் பொHொருத்தப்பட்டுள்ள P மற்றும் Q எனும் கதவுகளில் இருந்து கம்பத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலை வுகளின் வித்தியாசம் மீ உள்ளவாறு கம்பம் இயற்கணிதம் நடமுடியுமா?

ஆம் எனில் , இரு கதவுகளிலிருந்து கம்பத்தை எவ்வளவு தொலை வில் பொHொருத்த வேண்டும்? . x எண்ணிக்கையுடைய கருப்பு தேனீக்களின் கூட்டத்திலிருந்து கூட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கமூல எண்ணிக்கை கொண்ட தேனீக்கள் ஒரு மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீண்டும் கூட்டத்திலிருந்து ஒன்பதில் எட்டுப் பங்கு கொண்ட தேனீக்கள் அதே மரத்துக்குச் செல்கின்றன.

மீதமுள்ள இரண்டு தேனீக்கள் மணம் கமழும் மலரில் சிக்கிக் கொண்டன எனில் , மொத்த் தேனீக்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை ? . மீ இடைப்பட்ட தொலை வில் உள்ள இரு அரங்குகளில் இசை ஒலிக்கப்படுகிறது. முதல் அரங்கில் பாடகர்களும் இரண்டாம் அரங்கில் பாடகர்களும் பாடுகிறார்கள்.

சம ஒலி அளவில் இசையைக் கேட்க விரும்பும் ஒரு நபர் இரு அரங்கங்களுக்கு இடையில் எங்கு நிற்க வேண்டும்? ( குறிப்பு ஒலி அளவுகளின் விகிதமும் , இடைப்பட்ட தொலை வுகளின் வர்க்கத்தின் விகிதமும் சமம் ) . . மீ பக்க அளவுள்ள சதுர வடிவ நிலத்தின் நடுவில் , ஒரு சதுர மலர் மேடையும் அதனை ச் சுற்றிச் சீரான அகலமுள்ள சரளை பாதையும் அமைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சதுர மீட்டர் மேடை மற்றும் பாதை அமைக்க முறையே ` மற்றும் ` என்றவாறு மொத்தச் செலவு ` எனில் , சரளை பாதையின் அகலம் என்ன? . ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் செ.மீ மற்றும் அதன் சுற்றளவு செ.மீ எனில் , முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் அளவைக் காண்க. .

. இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மை (Nature of Roots of a Quadratic Equation) ax bx , a ¹ எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களை x ac = - ± எனும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் காணலாம். இருபடிச் சமன்பாட்டின் ‘ தன்மைகாட்டி ’ [குறியீடு D ] என அழைக்கப்படும். b ac மூலங்களின் தன்மையைக் கீழ்க்ககாணுமாறு தெரிவிக்கிறது .

தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு ∆= ac மூலங்களின் தன்மை D > மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமில்லை D = மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் D < மெய் மூலம் இல்லை. க்காட்டு . பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க. (i) x (ii) (iii) தீர்வு (i) இங்கு , a = , b = − , c = − தன்மைகாட்டி , ∆= ac ∆= − ( )( = ∆= > .

எனவே , சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமில்லை. (ii) இங்கு , a = , b = − , c = தன்மைகாட்டி , ∆= ac = −